题目:1000.动物园

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。

为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串$S$，它的长度为$L$。我们可以在$O(L)$的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串$S$的前$i$个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例$S$为abcababc，则next[5]=2。因为$S$的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1]=next[2]=next[3]=0，next[4]=next[6]=1，next[7]=2，next[8]=3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。

随后，他详细讲解了如何在$O(L)$的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串$S$的前$i$个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如$S$为aaaaa，则num[4]=2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。

听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！

但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。

你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出
$$\Pi_{i=1}^L (\texttt{num[i]}+1)$$
对1,000,000,007取模的结果即可。

输入格式

第1行仅包含一个正整数$n$ ，表示测试数据的组数。

随后$n$行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。

数据保证$S$中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式

包含$n$行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。

对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对1,000,000,007取模的结果。

输出文件中不应包含多余的空行。

输入样例：

3
aaaaa
ab
abcababc

输出样例：

36
1
32

算法

这题利用KMP得出$O(n)$的解法。

首先，不考虑前缀和后缀不重叠的情况，先考虑$S$的每一个子字符串$S[1\sim i]$所能形成的相同前后缀的数量$cnt[i]$，这个表达式是

$$cnt[i]=cnt[ne[i]]+1.$$

我们来看一个例子来说明。比如aasdaa。很容易可以理解，cnt[2]=2。注意，字符串本身就是一个相同长度的前缀和后缀，所以是2。我们再来看cnt[6]。本身通过kmp能够得到ne[6]=3，所以肯定起码一种前后缀。另外，对于aa这个前/后缀本身，我们可以把它拆开来，再形成一组前后缀，那么又多了一个，所以cnt[6]=4。同理，对于aaaasdaaaa，那么cnt[10]=5。

其次，这时候再考虑前后缀不重叠的情况。和cnt不同的地方在于，对于cnt来说只要一层ne[i]的嵌套，但是在找num[i]的时候，我们需要多次嵌套ne[i]来找到一个值使得前后缀不重复。所以我们再另用一个指针k来首先找前后缀的尺寸，然后如果有重叠的话，再利用ne数组对前后缀的长度缩短，最后找到合适的前后缀长度，及其对应的cnt值。

这个算法精髓的地方在于，在找num的值的时候，也是利用了类似kmp的方式，即用ne往回走，由此把时间复杂度控制在了$O(n)$，$n$为字符串的长度。

参考文献

博客文章

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e6+10, mod=1e9+7;
ll n, ne[N], cnt[N];
char s[N];

int main() {
    cin>>n;
    while (n--) {
        fill(cnt, cnt+N, 0);
        fill(ne, ne+N, 0);
        cin>>s+1;
        ll res=1;
        cnt[1]=1;
        for (int i=2, j=0, k=0; s[i]; i++) {
            while (j && s[i]!=s[j+1]) j=ne[j];
            if (s[i]==s[j+1]) j++;
            ne[i]=j;

            cnt[i]=cnt[j]+1;
            while (k && s[i]!=s[k+1]) k=ne[k];
            if (s[i]==s[k+1]) k++;
            while (k<<1>i) k=ne[k]; 
            res=res*(cnt[k]+1)%mod;
        }
        cout<<res<<'\n';
    }
}