算法流程

1.先进行bfs，找到一条可行的路径，并记录路径，算出到$T$的最大流量$d[T]$

2.倒着寻找刚才走过的可行的路径，利用我们记录的$pre$数组，从$T$开始，每次向前走一个点，即$i=ver[pre[i] or 1]$(i是当前所在的点，下同)，因为此时又多扩展的可行流是$d[T]$,所以$f[pre[i]]-=d[T],f[pre[i] \ or \ 1]+=d[T]$

那么算法一定是会结束，因为一个图一定存在一个最大流

算法详细流程

【算法详解】

这么一个图，求源点1到汇点4的最大流。

第一轮迭代

将1加入队列，然后将$st[1]$设为访问过，把$d[1]$的容量设置为正无穷

然后以$1$为中心，进行扩展，首先到达$4$这个点，因为$4$这个点是汇点，所以直接返回此时的可行流$20$，将$st[4]=1$

下面我们就需要倒着去寻找路径了，也就是下图中紫色的部分

当前点在$4$处，$pre[4]$是从某个点经过编号为$pre[4]$的边，到达4的一个可行流

在这个图中，也就是$1$，从$1——>4$，此时$f[从1到4]-=d[T]$，变成0，$f[从4到1]+=d[T]$，变成20。

我们的最大流加上$d[T]=20$

接着进行第二轮迭代

首先清空$st$数组，将1加入队列，把$st[1]$设为1，$d[1]$设为正无穷。

以1为中心，向四周进行$bfs$，首先遇到4，虽然4没有被访问过，但是由于$f[从1到4]=0$，所以从1到4不是一个可行流，跳过4号点。然后遇到了$2$，$2$没有被访问过，并且$f[从1到2]>0$目前是一条可行流，进行拓展，把$2$加入队列，并记录路径$pre[2]=$从$1$到$2$的边的标号，$1$弹出队列

接着以$2$为中心，向四周进行$bfs$，首先遇到了$4$，$4$没有被访问过，并且$f[从2到4]>0$，直接返回此时的流量$20$，

下面的过程跟上面的一样，当前的点在$4$处，根据$pre$数组找路径，可以知道是从2号点转移过来的，所以$f[从2到4]-=d[T]$,$f[从4到2]+=d[T]$，从1到2的边流量也这样进行更新

如图所示

第三轮迭代同理，总是找到当前的可行流，然后更新经过路径上的$f[ \ ]$数组......

最后一定会结束迭代

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200000;
int ver[N],head[N],ne[N];
int f[N],d[N];
int idx;
int S,T;
int n,m;
int st[N],pre[N];
#define INF 0x3f3f3f3f
void add(int a,int b,int c)
{
    f[idx]=c,ver[idx]=b,ne[idx]=head[a],head[a]=idx++;
    f[idx]=0,ver[idx]=a,ne[idx]=head[b],head[b]=idx++;
}

bool bfs()
{
    queue<int> q;
    q.push(S);
    d[S]=INF;
    memset(st,false,sizeof(st));
    st[S]=true;
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=ver[i];
            if(!st[j]&&f[i])
            {
                st[j]=1;
                d[j]=min(d[t],f[i]);
                pre[j]=i;
                if(j==T)return true;
                q.push(j);
            }
        }
    }
    return false;
}

int EK()
{
    int r=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=T;i!=S;i=ver[pre[i]^1])
        {
            f[pre[i]]-=d[T];
            f[pre[i]^1]+=d[T];

        }
        r+=d[T];
    }
    return r;
}
int main()
{
     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
  memset(head, -1, sizeof head);
  while (m--) {
    int a, b, c;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    add(a, b, c);
  }

  printf("%d\n", EK());
  return 0;
}