概括总结一下01背包问题的动态规划解决方法。

01背包问题概述：

给定 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。每件物品 $i$ 有一个体积（或重量）$v_i$ 和一个价值 $w_i$。目标是选择一部分物品放入背包，使得物品总体积不超过背包容量 $V$，且总价值最大。每件物品只能选择一次（要么选，要么不选）。

核心解决思路：动态规划 (Dynamic Programming, DP)

动态规划的核心思想是将问题分解为重叠的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算。对于01背包问题，关键在于对每个物品做决策：选还是不选。

以二叉树来理解重叠子问题的意思，一颗整树我把它分成左右两个部分，然后再把这”左”部分再次分为左右两个部分，把“右”部分也分成左右两个部分。

在宏观上使用的解决问题的方法，再微观上也使用同样的方法来解决。

方法一：二维动态规划（标准解法）

1. 状态定义：
   $dp[i][j]$ 表示：从前 $i$ 件物品中任意选择，放入容量为 $j$ 的背包中所能获得的最大总价值。

   • $i$: 代表考虑到了第 $i$ 件物品（通常物品编号从 0 到 $N$）。
   • $j$: 代表当前的背包容量（从 0 到 $V$）。

2. 状态转移方程：
   对于第 $i$ 件物品（体积 $v_i$，价值 $w_i$）和当前容量 $j$：

   • 不选择第 $i$ 件物品： 最大价值与只考虑前 $i-1$ 件物品在容量 $j$ 下的价值相同，即 $dp[i-1][j]$。
   • 选择第 $i$ 件物品（前提是 $j >= v_i$，即当前容量能装下该物品）： 价值为第 $i$ 件物品的价值 $w_i$ 加上用前 $i-1$ 件物品填充剩余容量 $j - v_i$ 所能获得的最大价值，即 $dp[i-1][j - v_i] + w_i$。

   综合起来，$dp[i][j]$ 取两者中的较大值：
   如果 $j < v_i$ (装不下第 $i$ 件物品)：$dp[i][j] = dp[i-1][j]$
   如果 $j >= v_i$ (可以装下第 $i$ 件物品)：$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - v[i]] + w_i)$

3. 初始化/边界条件：

   • $dp[0][j] = 0$ 对于所有 $j$ (0 <= $j$ <= $V$)：不考虑任何物品时，价值为0。
   • $dp[i][0] = 0$ 对于所有 $i$ (0 <= $i$ <= $N$)：背包容量为0时，价值为0。
     通常将整个 $dp$ 数组初始化为0即可满足这些条件。

4. 计算顺序：

   • 外层循环遍历物品 $i$ (从1到 $N$)。
   • 内层循环遍历背包容量 $j$ (从0或1到 $V$)。

5. 最终答案：
   $dp[N][V]$ 即为所求的最大价值。

6. 复杂度：

   • 时间复杂度：$O(N*V)$，因为需要填充 $N*V$ 个状态，每个状态计算是常数时间。
   • 空间复杂度：$O(N*V)$，因为需要存储整个二维 $dp$ 表。

方法二：一维动态规划（空间优化解法）

观察到 $dp[i][j]$ 的计算只依赖于 $dp[i-1]$ 行的数据，因此可以优化空间。

1. 状态定义：
   $dp[j]$ 表示：容量为 $j$ 的背包所能获得的最大总价值。（这里隐含了“已经考虑了当前以及之前所有物品”这一层含义）

2. 状态转移方程：
   当我们考虑一件新的物品 $i$（体积 $v_i$，价值 $w_i$）时，更新 $dp[j]$：
   $dp[j] = max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i)$

   • $dp[j]$ (在 $max$ 的第一个参数中)：代表不选择当前物品 $i$ 时，容量 $j$ 的最大价值（这个值是上一轮迭代留下来的，即只考虑前 $i-1$ 件物品时的 $dp[j]$）。
   • $dp[j - v_i] + w_i$：代表选择当前物品 $i$ 时的价值。

3. 初始化/边界条件：
   $dp$ 数组所有元素初始化为0。$dp[0]$ 始终为0。

4. 计算顺序（关键点）：

   • 外层循环遍历物品 $i$ (从1到 $N$，或者物品数组从0到 $N-1$)。
   • 内层循环必须逆序遍历背包容量 $j$ (从 $V$ 向下到 $v_i$)。
     • 原因： 逆序遍历是为了保证在计算 $dp[j]$ 时，所用到的 $dp[j - v_i]$ 是上一轮迭代（即处理前 $i-1$ 件物品时）的结果。如果正序遍历，$dp[j - v_i]$ 可能已经是本轮考虑物品 $i$ 时更新过的值，这会导致物品 $i$ 被重复计算，问题就变成了完全背包问题。

5. 最终答案：
   $dp[V]$ 即为所求的最大价值。

6. 复杂度：

   • 时间复杂度：$O(N*V)$，两层循环。
   • 空间复杂度：$O(V)$，只需要一个一维数组。

总结：

01背包问题是动态规划的经典入门问题。其核心在于对每个物品的“选”与“不选”进行决策，并构建状态转移方程。
二维DP思路直接，易于理解，但空间开销较大。
一维DP是对二维DP的空间优化，通过巧妙地改变内层循环（容量）的遍历顺序（改为逆序），使得可以用一维数组完成状态转移，大大降低了空间复杂度，是实际应用中更常用的方法。

两种方法的时间复杂度相同，主要区别在于空间复杂度。在物品数量或背包容量非常大时，空间优化显得尤为重要。

再总结

动态规划是一个复杂的递推而已。以前学过的数列的通项公式是一样的，数列的通项公式中 $a_n$ 由 $a_{n - 1}$构成的一个表达式，这样数列的当前项 $a_n$ 就可以由前面的项$a_{n-1}$计算出来。

只不过动态规划是在一个平面上做的递推，就好像查表计算一样。

难点就是构建这个平面上的通项公式而已，慢慢体会。

所谓的递推字面意思，由下往上叫做递，由前（已知）到后（未知）叫做推，感谢当初的命名者，您精准的的提取了这种算法的精髓，形象的用汉语描述了它，虽然我不知道您的名字，我仍然要感谢您或您们。