Today数学题*2
(以下题解为xxs蒟蒻自行编写)
Q1. $3x+4y=12$, 求$xy$的最大值 (高考题)
$$3x+4y=12\\4y=12-3x\\y=\frac{12-3x}4\\$$
设$f(x)=xy$, 则
$$f(x)=\frac{12x-3x^2}4=3x-\frac{3}4x^2\\$$
对$f$求导得$$f’\>(x)=(3x-\frac{3}4x^2)’=3-\frac{3}2x$$
可得$f’(x)$在$x$取$2$时为$0$.
对$f’(x)$求导得
$$f’\>’(x)=(3-\frac{3}2x)’=-\frac{3}2$$
显然$f’\>’(2)<0$, 则$x=2$为$f(x)$的极大值点, $xy$的最大值为$f(2)=3$.
Q2. $x+y=18$, 求$xy$的最大值 (中考题)
同理
$$y=18-x\\$$
设$f(x)=xy$, 则
$$f(x)=18x-x^2\\f’(x)=(18x-x^2)’=18-2x\\$$
可得$f’(x)$在$x$取$9$时为$0$.
对$f’(x)$求导得
$$f’\>’(x)=(18-2x)’=-2\\$$
显然$f’\>’(9)<0$, 则$x=9$为$f(x)$的极大值点, $xy$的最大值为$f(9)=81$.
最后:
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