连续点的定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的连续点，当且仅当 $\lim_\limits{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$，即在 $x_0$ 点左右极限都存在且相等于 $f(x_0)$。

间断点的定义与分类

1.可去间断点

在这类间断点处，函数在该点左右极限存在且相等，但该点的函数值与极限值不相等。例如，函数$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处有一个可去间断点。

2.跳跃间断点

在这类间断点处，函数在该点左右极限存在，但两侧极限不相等。例如，函数$f(x) = \lfloor x \rfloor$（$x$的底部函数）在所有整数点上都有跳跃间断点。

3.无穷间断点

在这类间断点处，函数在该点左或右至少一个极限不存在或为无穷大。例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处有一个无穷间断点。

4.混合间断点

在这类间断点处，函数同时满足上述多种间断点性质。例如，函数$f(x) = \frac{\lfloor x \rfloor}{x}$在所有整数点上都有混合间断点。