一个图中，顶点数n,边数m，当n^2>>m，为稀疏–堆优化m–n)一个级别（100 100）邻接表
当m相对较大时为稠密图。*朴素的*（m–n^2)一个级别（100 10000）邻接矩阵
不超过k条边，BELLMAN
单源只有一个起点，到其他点的最短路
多源 多个点的最短路

朴素dijkstra算法

详细的推到
https://www.acwing.com/solution/content/38318/

朴素dijkstra算法 —— 模板题 AcWing 849. Dijkstra求最短路 I
时间复杂是 O(n2+m), n表示点数，m 表示边数
int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定

// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )//n次迭代，每次寻找不在s中距离最近的点t
    {
        int t = -1;     //不存在负值所以t=-1
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )// 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用t更新其他点的距离
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);//g[t][j]就是节点t可以到的路径里面最小值

        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;//路径不存在
    return dist[n];
}

堆优化版dijkstra —— 模板题 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
时间复杂度 O(mlogn) n 表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

Dijkstra求最短路 I
题目描述
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。

输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3

单源且均为正值用Dijkstra算(m,n^2)，

1.
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N];//邻接矩阵
int dist[N];//1号点到其他点的距离
bool st[N];//st[i], 第i个点是否确定, 归入s集合中

int dijkstra(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化所有点到一号点的距离为正无穷
    dist[1] = 0;//初始化第一个点到自己的距离是0

    for(int i = 0; i < n - 1; i++)//迭代n - 1次
    {
        int t = -1;//t = -1表示还没有点, t: 不在集合s中的离一号点距离最近的点
        for(int j = 1; j <= n; j++)//找到不在集合s中与一号点距离最近的点
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//如果j不在集合s中且 (还没有点或者当前t这个点不是离一号点最短的点)
                t = j;
        //执行完之后t就是不在集合s中距离一号点最近的点
        st[t] = true;//把t存入集合s中

        for(int j = 1; j <= n; j++)
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);//本来应该是用t更新
            //其他不在集合s中的点的距离
        //但是这里直接用t更新全部点的距离，这是因为已经确定距离的点不会受t的影响。
        //因为dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        //对于已经确定了最短距离的点dist[j] <= dist[t]恒成立，这是由t的定义决定的
        //对于t 和 j这两个点，j 是比 t 先确定最短距离的点，因此dist[j]一定小于dist[t] 
        //况且dist[t]还要加一个g[t][j]那么这个值就更大了
    }

    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);//读入点数和边数
    //存在重边和自环，重边的话保留最短的一条就行了，自环直接忽略掉

    memset(g, 0x3f, sizeof g);//初始化点与点之间的距离为正无穷 包括自己到自己也是正无穷
    //这里不必纠结自己到自己的距离是0还是正无穷因为只有在用t更新时 j = t才会用到g[t][t]自己到自己的距离，且dist[t] = min(dist[t], dist[t] + g[t][t])
    //从公式可以看出g[t][t] = 0或正无穷dist[t]都不变
    while (m -- ){
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c);//重边保留长度最短的那条边
    }

    printf("%d\n", dijkstra());
    return 0;
}

2.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
int g[N][N];    //为稠密阵所以用邻接矩阵存储
int dist[N];    //用于记录每一个点距离第一个点的距离
bool st[N];     //用于记录该点的最短距离是否已经确定
int n,m;
int Dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f,sizeof dist);     //初始化距离  0x3f代表无限大
    dist[1]=0;  //第一个点到自身的距离为0
    for(int i=0;i<n;i++)      //有n个点所以要进行n次 迭代
    {
        int t=-1;       //t存储当前访问的点
        for(int j=1;j<=n;j++)   //这里的j代表的是从1号点开始
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))     
                t=j;
        st[t]=true;  //该点被遍历 

        for(int j=1;j<=n;j++)           //依次更新每个点所到相邻的点路径值
            dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);//g[t][j]就是t点到其他的距离
    }

    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;  //如果第n个点路径为无穷大即不存在最低路径
    return dist[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;

    memset(g,0x3f,sizeof g);    //邻接矩阵的初始化，由于求的是最小值，因此初始为无穷大
    while(m--)
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        g[x][y]=min(g[x][y],z);     //如果发生重边的情况则保留最短的一条边
    }

    cout<<Dijkstra()<<endl;
    return 0;
}

2.稀疏图–>邻接表
给定一个 nn 个点 mm 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 11 号点到 nn 号点的最短距离，如果无法从 11 号点走到 nn 号点，则输出 −1−1。

输入格式
第一行包含整数 nn 和 mm。

接下来 mm 行每行包含三个整数 x,y,zx,y,z，表示存在一条从点 xx 到点 yy 的有向边，边长为 zz。

输出格式
输出一个整数，表示 11 号点到 nn 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1−1。

数据范围
1≤n,m≤1.5×1051≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于 00，且不超过 1000010000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 109109。

输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3
思路
这题和 Dijkstra求最短路IDijkstra求最短路I 思路是一样的，就是把枚举选哪个点改成用优选队列来维护最短的长度，还要把迭代换成优先队列是否为空即可。
用堆来优化，就是优化点更新

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>//堆的头文件

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;//堆里存储距离和节点编号

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//邻接矩阵存储图
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//小根堆
    heap.push({0, 1});//插入距离和节点编号

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();//取距离源点最近的点
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;//ver:节点编号，distance:源点距离ver 的距离

        if (st[ver]) continue;//如果距离已经确定，则跳过该点
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])//更新ver所指向的节点距离
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});//距离变小，则入堆
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}