一个图中,顶点数n,边数m,当n^2>>m,为稀疏–堆优化m–n)一个级别(100 100)邻接表
当m相对较大时为稠密图。*朴素的*(m–n^2)一个级别(100 10000)邻接矩阵
不超过k条边,BELLMAN
单源只有一个起点,到其他点的最短路
多源 多个点的最短路
朴素dijkstra算法
详细的推到
https://www.acwing.com/solution/content/38318/
朴素dijkstra算法 —— 模板题 AcWing 849. Dijkstra求最短路 I
时间复杂是 O(n2+m), n表示点数,m 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路,如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )//n次迭代,每次寻找不在s中距离最近的点t
{
int t = -1; //不存在负值所以t=-1
for (int j = 1; j <= n; j ++ )// 在还未确定最短路的点中,寻找距离最小的点
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);//g[t][j]就是节点t可以到的路径里面最小值
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;//路径不存在
return dist[n];
}
堆优化版dijkstra —— 模板题 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
时间复杂度 O(mlogn) n 表示点数,m 表示边数
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离,如果不存在,则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离,second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
Dijkstra求最短路 I
题目描述
给定一个 n 个点 m 条边的有向图,图中可能存在重边和自环,所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离,如果无法从 1 号点走到 n 号点,则输出 −1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边,边长为 z。
输出格式
输出一个整数,表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在,则输出 −1。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。
输入样例:
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例:
3
单源且均为正值用Dijkstra算(m,n^2),
1.
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int n, m;
int g[N][N];//邻接矩阵
int dist[N];//1号点到其他点的距离
bool st[N];//st[i], 第i个点是否确定, 归入s集合中
int dijkstra(){
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化所有点到一号点的距离为正无穷
dist[1] = 0;//初始化第一个点到自己的距离是0
for(int i = 0; i < n - 1; i++)//迭代n - 1次
{
int t = -1;//t = -1表示还没有点, t: 不在集合s中的离一号点距离最近的点
for(int j = 1; j <= n; j++)//找到不在集合s中与一号点距离最近的点
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//如果j不在集合s中且 (还没有点或者当前t这个点不是离一号点最短的点)
t = j;
//执行完之后t就是不在集合s中距离一号点最近的点
st[t] = true;//把t存入集合s中
for(int j = 1; j <= n; j++)
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);//本来应该是用t更新
//其他不在集合s中的点的距离
//但是这里直接用t更新全部点的距离,这是因为已经确定距离的点不会受t的影响。
//因为dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
//对于已经确定了最短距离的点dist[j] <= dist[t]恒成立,这是由t的定义决定的
//对于t 和 j这两个点,j 是比 t 先确定最短距离的点,因此dist[j]一定小于dist[t]
//况且dist[t]还要加一个g[t][j]那么这个值就更大了
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);//读入点数和边数
//存在重边和自环,重边的话保留最短的一条就行了,自环直接忽略掉
memset(g, 0x3f, sizeof g);//初始化点与点之间的距离为正无穷 包括自己到自己也是正无穷
//这里不必纠结自己到自己的距离是0还是正无穷因为只有在用t更新时 j = t才会用到g[t][t]自己到自己的距离,且dist[t] = min(dist[t], dist[t] + g[t][t])
//从公式可以看出g[t][t] = 0或正无穷dist[t]都不变
while (m -- ){
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
g[a][b] = min(g[a][b], c);//重边保留长度最短的那条边
}
printf("%d\n", dijkstra());
return 0;
}
2.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
int g[N][N]; //为稠密阵所以用邻接矩阵存储
int dist[N]; //用于记录每一个点距离第一个点的距离
bool st[N]; //用于记录该点的最短距离是否已经确定
int n,m;
int Dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f,sizeof dist); //初始化距离 0x3f代表无限大
dist[1]=0; //第一个点到自身的距离为0
for(int i=0;i<n;i++) //有n个点所以要进行n次 迭代
{
int t=-1; //t存储当前访问的点
for(int j=1;j<=n;j++) //这里的j代表的是从1号点开始
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))
t=j;
st[t]=true; //该点被遍历
for(int j=1;j<=n;j++) //依次更新每个点所到相邻的点路径值
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);//g[t][j]就是t点到其他的距离
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1; //如果第n个点路径为无穷大即不存在最低路径
return dist[n];
}
int main()
{
cin>>n>>m;
memset(g,0x3f,sizeof g); //邻接矩阵的初始化,由于求的是最小值,因此初始为无穷大
while(m--)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
g[x][y]=min(g[x][y],z); //如果发生重边的情况则保留最短的一条边
}
cout<<Dijkstra()<<endl;
return 0;
}
2.稀疏图–>邻接表
给定一个 nn 个点 mm 条边的有向图,图中可能存在重边和自环,所有边权均为非负值。
请你求出 11 号点到 nn 号点的最短距离,如果无法从 11 号点走到 nn 号点,则输出 −1−1。
输入格式
第一行包含整数 nn 和 mm。
接下来 mm 行每行包含三个整数 x,y,zx,y,z,表示存在一条从点 xx 到点 yy 的有向边,边长为 zz。
输出格式
输出一个整数,表示 11 号点到 nn 号点的最短距离。
如果路径不存在,则输出 −1−1。
数据范围
1≤n,m≤1.5×1051≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于 00,且不超过 1000010000。
数据保证:如果最短路存在,则最短路的长度不超过 109109。
输入样例:
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例:
3
思路
这题和 Dijkstra求最短路IDijkstra求最短路I 思路是一样的,就是把枚举选哪个点改成用优选队列来维护最短的长度,还要把迭代换成优先队列是否为空即可。
用堆来优化,就是优化点更新
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>//堆的头文件
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;//堆里存储距离和节点编号
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//邻接矩阵存储图
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//小根堆
heap.push({0, 1});//插入距离和节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();//取距离源点最近的点
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;//ver:节点编号,distance:源点距离ver 的距离
if (st[ver]) continue;//如果距离已经确定,则跳过该点
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])//更新ver所指向的节点距离
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
{
dist[j] = dist[ver] + w[i];
heap.push({dist[j], j});//距离变小,则入堆
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
cout << dijkstra() << endl;
return 0;
}
# orz