笔记汇总
二项式定理是牛顿的早期成就之一,分析的是仅次于单项式的 最简单多项式。
即,$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n}C^r_na^{n-r}b^r$
如果说 $a^{n-r}$ 与 $b^r$ 是不证自明的结论,前面的组合数却让牛顿费了番工夫。
可以比较简单的巧记为在 $n$ 个数对中选 $n-r$ 个第一元素和 $r$ 个第二元素的组合
因为其中一个是相对的补集,可以省略,故为在 $n$ 个数中选 $n-r$ 个数的组合。
但是,艾萨克牛顿爵士绝不会仅满足于总结前人的经验,作为当时最顶尖的数学家(尽管只有二十多岁),他敏锐的发现二项式定理可以推广到任意实数位。
分数次幂即,$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
这也叫 广义二项式定理
广义二项式定理
首先我们会发现组合数并没有分数的形式(不然会有恐怖的位数),
这也意味着我们将展开一个无限级数,$\frac{a(a-1)…(a-b+1)}{b!}$,其中 $a$ 为指数,$b$ 无限。
当然无限级数是不一定收敛的,所以广义二项式未必有答案。
而广义二项式最大的作用就是快速收敛无理数,
列如 $\sqrt{7} = (9 - 2)^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)…(\frac{1}{2}-b+1)}{b!}$,此无限级数收敛速度远大于 $\sqrt{n}$,若要求小数点后 $n$ 位的 $\sqrt{7}$ 仅需要计算 $2n$ 项即可。
同样,负指数也满足这个公式。
$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n}C^r_na^{n-r}b^r$ 怎么推导呢?
大佬太厉害了~