一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。
在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在 107107 为最佳。

下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

n≤30n≤30, 指数级别, dfs+剪枝，状态压缩dp
n≤100n≤100 => O(n3)O(n3)，floyd，dp
n≤1000n≤1000 => O(n2)O(n2)，O(n2logn)O(n2logn)，dp，二分
n≤10000n≤10000 => O(n∗n√)O(n∗n)，块状链表
n≤100000n≤100000 => O(nlogn)O(nlogn) => 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、dijkstra+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分
n≤1000000n≤1000000 => O(n)O(n), 以及常数较小的 O(nlogn)O(nlogn) 算法 => hash、双指针扫描、kmp、AC自动机，常数比较小的 O(nlogn)O(nlogn) 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa
n≤10000000n≤10000000 => O(n)O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数
n≤109n≤109 => O(n√)O(n)，判断质数
n≤1018n≤1018 => O(logn)O(logn)，最大公约数

数论O(1)

如果 a,ba,b 均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−b。

两个数的最大公约数为1
(p,q) = 1;
不能由p和q凑出来的最大的数是(p-1)(q-1)-1

数列求和公式

等差数列：
    通项公式：an = a1 + (n-1)d
    求和公式：sn = na1 + n(n-1)*d/2 = n*(a1 + an)/2

等比数列：
    通项公式：an = a1 * q ^ (n - 1)
    求和公式：sn = a1 * (1 - q ^ n)/(1-q)

一维差分

给定a[1],a[2],a[3]...
构造差分数组b[N]，使得a[i] = b[1] + b[2] + ... + b[i]

#核心操作
将a[L~R]全部加上c，等价于:
b[L] += c,b[R + 1] -= c(个人理解就是一个内层递推原理)
时间复杂度优化 O(n) ---> O(1)

二维差分

给定原矩阵a[i,j]构造差分矩阵b[i,j],使得a[][]是b[][]的二维前缀和

core operation
以a[x1][y1]为左上角,a[x2][y2]为右下角的子矩阵所有的数a[i][j] 加 c;

S[x1][x2] += c;
S[x1][y2 + 1] -= c;
S[x2 + 1][y1] -= c;
S[x2 + 1][y2 + 1] += c;

双指针

将O(n^2)复杂度优化为O(n)

#经典案例
按空格分割字符串
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main(){
    char a[1000];
    gets(a);
    int n = strlen(a);
    for(int i = 0;i < n;i++){
        int j = i;
        #核心代码逻辑
        while(j < n && a[j] != ' ') j++;

        for(int k = i;k < j;k++) cout << a[k];
        cout << endl;
    i = j;
    }
    return 0;
}

BFS

#队列 先进先出 bfs
#栈   先进后出(递归形式表示) dfs

关于mod的神奇推理

给定数列1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, …，从第4 项开始，每项都是前3 项的和。求
第20190324 项的最后4 位数字。
公式:a%10000 + b%10000 + c%10000 = (a+b+c)%10000

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
int a=1,b=1,c=1;

LL ans(int n){
    int res = 0;
    for(int i = 4;i <= n;i++){
        res = a + b + c;
        if(res > 10000){
            res %=10000;
        }
        a = b,b = c, c = res;
    }

    return res;
}

int main(){
    int n = 20190324 ;

    cout << ans(n) << endl;

    return 0;
}

均值不等式

x1 + x2 + … + xn = c
则有:(x^2表示x的平方)

(x1^2 + x2^2 +...+ xn^2)/2  >= (x1+x2+x3+...+xn)^2/2

且当x1 == x2 == x3 ==..==xn == c/n时取到最小值